Все большую актуальность получают вопросы расчета и про­гнозирования финансово-экономических показателей. В совре­менных условиях финансовые математические модели представ­ляют собой неотъемлемую и очень важную часть статистического анализа с целью выработки и принятия решений.

В финансово-экономических расчетах денежные потоки (сумма денег) всегда связываются с конкретными интервалами времени. В связи с этим в финансовых сделках (договорах, контрактах) обязательно даются фиксированные сроки, даты, периодичность выплат (или поступление денежных средств). В финансовой ма­тематике фактор времени учитывается с помощью исчисления (применения) процентной ставки, учитывающей интенсивность начисления процентов (процентных денег). Процентная ставка - это отношение суммы процентных денег, выплачиваемых за строго зафиксированный отрезок времени, к величине кредита, ссуды и т.д. Интервал времени, к которому приурочена процентная став­ка, называется периодом начисления (накопления).

Ставки процентов могут применяться к одной и той же на­чальной сумме на протяжении всего срока действия кредита, ссуды. Такого рода проценты называются простыми процентны­ми ставками. В этом случае распределение суммы накопления описывается равномерным линейным законом распределения, а сам процесс наращения может быть выражен в виде арифме­тической профессии:

FV=PV(1 +n * i) или FV=PV + I,

где FV - наращенная сумма;

PV - текущая (первоначальная) сумма;

n - количество периодов начислений;

i - ставка процентов;

i= PV * п * i - процентный доход за весь срок.

В некоторых случаях возможно применение дискретно изме­няющихся во времени процентных ставок. Например, ставка про­стого процента в первый год равна 10%, во второй - 15%, в третий - 20%.

Когда периоды начисления (например, по годам) равны, то формула наращения по простым процентам имеет вид: FV=PV (1+n-i) m ,

где m - общее число операций реинвестирования.

В отечественной практике, как правило, не делают различий между понятиями ссудного (кредитного) процента и учетной ставки. Обычно применяют собирательный термин - процент­ная ставка. В то же время термин учетная ставка встречается применительно к ставке рефинансирования ЦБ РФ, а также к вексельным операциям.

Нужно подчеркнуть, что начисление процентов в большин­стве случаев осуществляется в конце каждого периода (интерва­ла) начисления. Такой способ определения и начисления про­центов носит название декурсивного способа. В отдельных случа­ях в соответствии с заключенными договорами применяется антисипативный (предварительный) способ, т.е. проценты на­числяются в начале каждого периода начисления.

В финансовых расчетах наиболее часто встречаются задачи по определению наращенной суммы FV по заданной (первона­чальной) величине текущей стоимости ссуды (кредита) PV, а также текущей суммы (полученной) PV по заданной наращен­ной сумме FV. Первый тип задач называется компаудингом (про­цессом накопления), второй тип задач - дисконтированием. Раз­ница величин текущей стоимости PV наращенной суммы FV называется дисконтом D k , т.е.D K = FV – PV.

Простые проценты могут быть точными, когда при расчете год берется равным фактической его продолжительности в днях, или обыкновенными, когда длительность года берется равной 360 дням. Принятое количество дней в году называется временной базой.

Cуществуют и такие понятия, как ком­мерческий (или банковский) учет, учет векселей, дисконтирова­ние по учетной ставке (по простым процентам). В практике фи­нансово-кредитных отношений простые учетные ставки приме­няются при учете векселей и других денежных обязательств. В зависимости от формы представления капитала и способа выпла­ты дохода ценные бумаги подразделяются на две группы: долговые (купонные облигации, сертификаты, векселя - имеющие фикси­рованную процентную ставку) и долевые (акции), представляю­щие долю держателя в реальной собственности и обеспечивающие получение дивиденда в неограниченное время. Все прочие виды ценных бумаг являются производными от долговых и долевых: это опционы, фьючерсные контракты, приватизационные чеки.

С целью избежания ошибок и потерь в условиях инфляции (снижения покупательной способности денег) нужно учитывать механизм влияния инфляции на результат финансовых опера­ций. При расчетах используют относительную величину уровня инфляции, т.е. темп инфляции α: α=(PV α – PV)/PV или α= РV/PV*100

где α - темп инфляции;

PV α - сумма, отражающая фактическую покупательную спо­собность (фактическую стоимость товара через пери­од времени /);

PV - сумма при отсутствии инфляции;

РV= PV α – PV – сумма инфляционных денег.

Cущность простых процентов заклю­чается в том, что они начисляются на одну и ту же величину капитала в течение всего срока ссуды (кредита).

В практике проведения финансовых расчетов дата выдачи и дата погашения ссуды всегда считаются за один день. При этом используют один из двух вариантов

1)точный процент получают, когда за временную базу берут фактическое число дней в году (365 или 366) и точное число дней ссуды:

где Nд- продолжительность начисления в годах;

Д - продолжительность периода начисления в днях;

К - продолжительность года в днях.

Точное число дней ссуды Д определяется по специальной таблице, где показаны порядковые номера каждого дня года (из номера, соответствующего дню окончания займа (ссуды), вычи­тают номер первого дня);

2)обыкновенный процент получают, когда применяется при­близительное число дней ссуды, а продолжительность полного месяца принимается равной 30 дням. Этот метод применяется при погашении облигаций (займа). Наращенная сумма FVв этих случаях определяется из выражения

Определим ставку процентов, учитывающую инфляцию Iα, по формуле И. Фишера.

Работа добавлена на сайт сайт: 2015-07-10

Заказать написание уникльной работы

;font-family:"Times New Roman"">ОГЛАВЛЕНИЕ

;font-family:"Times New Roman"">Введение………………………………………………………………………1

1. ">Проценты……………………………………………………………………...2
2. ">Применение простых и сложных процентов ;color:#000000">……………………………………………………………………6
3. ;color:#000000">Применение простых процентов…………………………………………...7
4. ;color:#000000">Применение сложных процентов…………………………………….…….9
5. ">Сравнение методов простых и сложных процентов ;color:#000000">…………………………………………………………………..14
6. ">Комбинированные схемы начисления процентов ;color:#000000">………………………………………………………………..…16
7. ">Номинальная процентная ставка……………………………………………...........................................18
8. ;color:#000000">Понятие номинальной процентной ставки…………………………….…19
9. ;color:#000000">Эффективная процентная ставка……………………………………….…20
10. ;color:#000000">Непрерывное начисление сложных процентов……………………..……21
11. ">ПРОЦЕНТНЫЕ НАЧИСЛЕНИЯ……………………………………………...22

">Библиографический список………………………………………....25

">ЗАКЛЮЧЕНИЕ……..…………………………………………………….........26

">ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ………………………………………………….....27

ВВЕДЕНИЕ

;font-family:"Times New Roman"">В любой развитой рыночной экономике процентная ставка в национальной валюте является одним из самых важных макроэкономических показателей, за которым пристально следят не только профессиональные финансисты, инвесторы и аналитики, но также предприниматели и простые граждане. Причина такого внимания ясна: процентная ставка - это самая главная цена в национальной экономике: она отражает цену денег во времени. Кроме того, двоюродная сестра процентной ставки - это уровень инфляции, измеряемый также в процентных пунктах и признаваемый в соответствии с монетаристской парадигмой одним из главных ориентиров и результатов состояния национальной экономики (чем меньше инфляция, тем лучше для экономики, и наоборот). Родственная связь здесь проста: уровень номинальной процентной ставки должен быть выше уровня инфляции, при этом оба показателя измеряются в процентах годовых. В современной экономической теории общий термин "процентная ставка" используется в единственном числе. Здесь она рассматривается в качестве инструмента, с помощью которого государство в лице монетарных властей воздействует на экономический цикл страны, сигнализируя об изменении кредитно-денежной политики и изменяя объем денежной массы в обращении.

;font-family:"Times New Roman"">Многообразие конкретных процентных ставок в национальной валюте - тема, которая является весьма полезным практическим знанием, накопление которого в жизни любого человека происходит эмпирическим путем. Благодаря средствам массовой информации, либо в своей профессиональной деятельности, либо при управлении личными сбережениями и инвестициями, мы все слышали или регулярно сталкиваемся с различными процентными ставками по разнообразным продуктам.

;font-family:"Times New Roman"">1. ПРОЦЕНТЫ

;font-family:"Times New Roman"">Процентами называют сумму, которую уплачивают за пользование денежными средствами. Это абсолютная величина дохода.

;font-family:"Times New Roman"">Отношение процентных денег, полученных за единицу времени, к величине капитала называется процентной ставкой, или таксой. Относительно момента выплаты или начисления дохода за пользование предоставленными денежными средствами проценты подразделяются на обычные и авансовые.

;font-family:"Times New Roman"">Обычные (декурсивные, ;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US">postnumerando ;font-family:"Times New Roman"">) проценты начисляются в конце периода относительно исходной величины средств. Доход на процент выплачивается в конце периодов финансовой операции.

;font-family:"Times New Roman"">Под периодом начисления процентов следует понимать отрезок времени между двумя следующими друг за другом процедурами взимания процентов или срок финансовой операции, если проценты начисляются один раз (рис. 1). Как видно из названия, эти проценты (обычные) применяются чаще, в большинстве депозитных и кредитных операций, а также в страховании.

;font-family:"Times New Roman"">Схема начисления процентов

;font-family:"Times New Roman"">Если же доход, определяемый процентом, выплачивается в момент предоставления кредита, то данная форма расчетов называется авансовой, или учетом, а применяемые проценты – авансовыми (антисипативными, ;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US">prenumerando ;font-family:"Times New Roman"">), которые начисляется в начале периода относительно конечной суммы денег.

;font-family:"Times New Roman"">Доход на процент выплачивается в начале периода, в момент предоставления долга. Так рассчитывают проценты некоторых видах кредитования, например при продаже товаров в кредит, в международных расчетах, операциях с дисконтными ценными бумагами. При этом базой для расчета процентов служит сумма денег с процентами (сумма погашения долга), а исчисленные таким образом проценты взимаются вперед и являются авансом.

;font-family:"Times New Roman"">Существуют следующие виды процентных ставок:

;font-family:"Times New Roman"">Декурсивная ставка, ;font-family:"Times New Roman"">норма доходности ;font-family:"Times New Roman""> которой рассчитывается по начальной сумме кредита. Доход на процент выплачивается вместе с суммой кредита.

;font-family:"Times New Roman"">Антисипативная ставка, норма доходности которой рассчитывается по конечной сумме долга. Доход на процент выплачивается в момент предоставления кредита.

;font-family:"Times New Roman"">Действительная ставка, норма доходности которой соответствует получению дохода на процент один раз в год.

;font-family:"Times New Roman"">Номинальная ставка, доход на процент которой увеличивается кратное число раз в год.

;font-family:"Times New Roman"">Практика уплаты процентов основывается на теории наращивания денежных средств по арифметической или геометрической прогрессии.

;font-family:"Times New Roman"">Арифметическая прогрессия соответствует простым процентам, геометрическая – сложным, т.е. в зависимости от того, что является базой для начисления – переменная или постоянная величина.

;font-family:"Times New Roman"">Проценты делятся на:

;font-family:"Times New Roman"">- простые, которые весь срок обязательства начисляются на первоначальную сумму;

;font-family:"Times New Roman"">- сложные, база для начисления которых постоянно меняется за счет присоединения ранее начисленных процентов.

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">Наращение может осуществляться по схеме простых и сложных процентов.

;font-family:"Times New Roman"">Формула наращения простых процентов (simpleinterest). Наращение простых процентов означает, что инвестируемая сумма ежегодно возрастает на величину PV r. В этом случае размер инвестированного капитала через n лет можно определить по формуле:

;font-family:"Times New Roman"">FV = PV (1 + r n).

;font-family:"Times New Roman"">Формула наращения сложных процентов (compoundinterest). Наращение по схеме сложных процентов означает, что очередной годовой доход исчисляется не с исходной величины инвестированного капитала, а с общей суммы, включающей также ранее начисленные и не востребованные инвестором проценты. В этом случае размер инвестированного капитала через n лет можно определить по формуле:

;font-family:"Times New Roman"">FV = PV (1 + r) ;font-family:"Times New Roman";vertical-align:super">n ;font-family:"Times New Roman"">.

;font-family:"Times New Roman"">При одном и том же значении процентной ставки:

;font-family:"Times New Roman"">1) темпы наращения сложных процентов выше темпов наращения простых, если период наращения превышает стандартный интервал начисления дохода;

;font-family:"Times New Roman"">2) темпы наращения сложных процентов меньше темпов наращения простых, если период наращения меньше стандартного интервала начисления дохода.

;font-family:"Times New Roman"">Области применения простых и сложных процентов. Простые и сложные проценты могут применяться как в отдельных операциях, так и одновременно. Области применения простых и сложных процентов можно разделить на три группы:

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">1. операции с применением простых процентов;

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">2. операции с применением сложных процентов;

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">3. операции с одновременным применением простых и сложных процентов.

;font-family:"Times New Roman"">2 ПРИМЕНЕНИЕ ПРОСТЫХ И СЛОЖНЫХ ПРОЦЕНТОВ

">С экономической точки зрения метод сложных процентов является более обоснованным, так как он выражает возможность непрерывного реинвестирования (повторного вложения) денежных средств. Тем не менее, для краткосрочных (продолжительностью менее года) финансовых операций чаще всего используется метод простых процентов. Тому есть несколько причин:

1. ;font-family:"Times New Roman"">Во-первых, и ещё несколько десятилетий назад это было достаточно актуально, расчёты с применением метода простых процентов намного проще, чем расчёты с применением метода сложных процентов.
2. ;font-family:"Times New Roman"">Во-вторых, при небольших процентных ставках (в пределах 30%) и небольших промежутках времени (в пределах одного года) результаты, полученные с помощью метода простых процентов, довольно близки к результатам, полученным с применением метода сложных процентов (расхождение в пределах 1%). Если словосочетание «формула Тэйлора» вам о чём-то говорит, то вы поймёте, почему это так.
3. ;font-family:"Times New Roman"">В-третьих, и, возможно, это основная причина, задолженность, найденная с помощью метода простых процентов для промежутка времени меньше года, всегда ;font-family:"Times New Roman"">больше ;font-family:"Times New Roman"">, чем задолженность, найденная с применением метода сложных процентов. Так как правила игры всегда диктует кредитор, то понятно, что в таком случае он выберет первый метод.

;font-family:"Times New Roman"">2.1 Применение простых процентов

Областью применения простых процентов чаще всего являются краткосрочные операции(со сроком до одного года) с однократным начислением процентов (краткосрочные ссуды, вексельные кредиты) и реже — долгосрочные операции.

;font-family:"Times New Roman"">При краткосрочных операциях используется так называемая промежуточная процентная ставка, под которой понимается годовая процентная ставка, приведенная к сроку вложения денежных средств. Математически промежуточная процентная ставка равна доле годовой процентной ставки. Формула наращения простых процентов с использованием промежуточной процентной ставки имеет следующий вид:

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">FV = PV (1 + f r),

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">или

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">FV = PV (1 + t r / Т),

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">где f=t/T;

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">t — срок вложения денежных средств (при этом день вложения и день изъятия денежных средств принимаются за один день); Т — расчетное количество дней в году.

;font-family:"Times New Roman"">Придолгосрочныхоперациях начисление простых процентов рассчитывается по формуле:

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">FV = PV (1 + r n),

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">где n — срок вложения денежных средств (в годах). ,

;font-family:"Times New Roman"">2.2 Применение сложных процентов

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">Областью применения сложных процентов являются долгосрочные операции (со сроком, превышающим год), в том числе предполагающие внутригодовое начисление процентов.

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">В первом случае применяется обычная формула начисления сложных процентов:

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">FV = PV (1 + r) ;font-family:"Times New Roman";vertical-align:super;color:#000000">n ;font-family:"Times New Roman";color:#000000">.

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">Во втором случае применяется формула начисления сложных процентов с учетом внутригодового начисления. Под внутригодовым начислением процентов понимается выплата процентного дохода более одного раза в год. В зависимости от количества выплат дохода в год (m) внутригодовое начисление может быть:

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">1) полугодовым (m = 2);

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">2) поквартальным (m = 4);

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">3) ежемесячным (m = 12);

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">4) ежедневным (m = 365 или 366);

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">5) непрерывным (m -» ?).

;font-family:"Times New Roman"">Формула наращения при полугодовом, поквартальном, ежемесячном и ежедневном начислении сложных процентов имеет следующий вид:

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">FV = PV (1 + r / m) ;font-family:"Times New Roman";vertical-align:super;color:#000000">nm ;font-family:"Times New Roman";color:#000000">,

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">где PV — исходная сумма;

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">г — годовая процентная ставка;

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">n — количество лет;

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">m — количество внутригодовых начислений;

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">FV — наращенная сумма.

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">Процентный доход при непрерывном начислении процентов рассчитывается по следующей формуле:

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">FV ;font-family:"Times New Roman";vertical-align:sub;color:#000000">n ;font-family:"Times New Roman";color:#000000"> = Р e ;font-family:"Times New Roman";vertical-align:super;color:#000000">rn ;font-family:"Times New Roman";color:#000000">,

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">или:

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">FV ;font-family:"Times New Roman";vertical-align:sub;color:#000000">n ;font-family:"Times New Roman";color:#000000"> = P e ;font-family:"Times New Roman";vertical-align:super;color:#000000">?n ;font-family:"Times New Roman";color:#000000">,

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">где: e = 2, 718281 — трансцендентное число (число Эйлера);

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">е ;font-family:"Times New Roman";vertical-align:super;color:#000000">?n ;font-family:"Times New Roman";color:#000000"> — множитель наращения, который используется как при целом, так и дробном значении n;

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">? — специальное обозначение процентной ставки при непрерывном начислении процентов (непрерывная процентная ставка, «сила роста»);

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">n — количество лет.

;font-family:"Times New Roman"">При одинаковой величине исходной суммы, одинаковом сроке вложения денежных средств и значении процентной ставки возвращаемая сумма оказывается больше в случае использования формулы внутригодовых начислений, чем в случае использования обычной формулы начисления сложных процентов:

;font-family:"Times New Roman";color:#000000" xml:lang="en-US" lang="en-US">FV = PV (1 + r / m) ;font-family:"Times New Roman";vertical-align:super;color:#000000" xml:lang="en-US" lang="en-US">nm ;font-family:"Times New Roman";color:#000000" xml:lang="en-US" lang="en-US">> FV = PV (1 + r) ;font-family:"Times New Roman";vertical-align:super;color:#000000" xml:lang="en-US" lang="en-US">n ;font-family:"Times New Roman";color:#000000" xml:lang="en-US" lang="en-US">.

;font-family:"Times New Roman"">Если доход, полученный при использовании внутригодовых начислений, выразить в процентах, то полученная процентная ставка окажется выше той, которая использовалась при обычном начислении сложных процентов.

;font-family:"Times New Roman"">Таким образом, первоначально заявленная годовая процентная ставка для начисления сложных процентов, называемая номинальной, не отражает реальной эффективности сделки. Процентная ставка, отражающая фактически полученный доход, называется эффективной. Классификацию процентных ставок при внутригодовом начислении сложных процентов наглядно иллюстрирует рисунок.

;font-family:"Times New Roman"">Номинальная процентная ставка задается изначально. Для каждой номинальной процентной ставки и на ее основании можно рассчитать эффективную процентную ставку (r ;font-family:"Times New Roman";vertical-align:sub">е ;font-family:"Times New Roman"">).

;font-family:"Times New Roman"">Из формулы наращения сложных процентов можно получить формулу эффективной процентной ставки:

;font-family:"Times New Roman";color:#000000" xml:lang="en-US" lang="en-US">FV = PV (1 + r) ;font-family:"Times New Roman";vertical-align:super;color:#000000" xml:lang="en-US" lang="en-US">n ;font-family:"Times New Roman";color:#000000" xml:lang="en-US" lang="en-US">;

;font-family:"Times New Roman";color:#000000" xml:lang="en-US" lang="en-US">(1 + r ;font-family:"Times New Roman";vertical-align:sub;color:#000000" xml:lang="en-US" lang="en-US">e ;font-family:"Times New Roman";color:#000000" xml:lang="en-US" lang="en-US">) = FV / PV.

;font-family:"Times New Roman"">Приведем формулу наращения сложных процентов с внутригодовыми начислениями, при которых каждый год начисляется r / m процента:

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">FV = PV (1 + r / m) ;font-family:"Times New Roman";vertical-align:super;color:#000000">nm ;font-family:"Times New Roman";color:#000000">.

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">Тогда эффективная процентная ставка находится по формуле:

;font-family:"Times New Roman";color:#000000" xml:lang="en-US" lang="en-US">(1 + r ;font-family:"Times New Roman";vertical-align:sub;color:#000000" xml:lang="en-US" lang="en-US">e ;font-family:"Times New Roman";color:#000000" xml:lang="en-US" lang="en-US">) = (1 + r/m) ;font-family:"Times New Roman";vertical-align:super;color:#000000" xml:lang="en-US" lang="en-US">m ;font-family:"Times New Roman";color:#000000" xml:lang="en-US" lang="en-US">,

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">или

;font-family:"Times New Roman";color:#000000" xml:lang="en-US" lang="en-US">r ;font-family:"Times New Roman";vertical-align:sub;color:#000000" xml:lang="en-US" lang="en-US">e ;font-family:"Times New Roman";color:#000000" xml:lang="en-US" lang="en-US"> = (l + r/m) ;font-family:"Times New Roman";vertical-align:super;color:#000000" xml:lang="en-US" lang="en-US">m ;font-family:"Times New Roman";color:#000000" xml:lang="en-US" lang="en-US">- 1,

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">где r ;font-family:"Times New Roman";vertical-align:sub;color:#000000">е ;font-family:"Times New Roman";color:#000000"> — эффективная процентная ставка; r — номинальная процентная ставка; m — количество внутригодовых выплат.

;font-family:"Times New Roman"">Величина эффективной процентной ставки зависит от количества внутригодовых начислений (m):

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">1) при m = 1 номинальная и эффективная процентные ставки равны;

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">2) чем больше количество внутригодовых начислений (значение m), тем больше эффективная процентная ставка.

;font-family:"Times New Roman"">Областью одновременного применения простых и сложных процентов являются долгосрочные операции, срок которых составляет дробное количество лет. При этом начисление процентов возможно двумя способами:

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">1) начисление сложных процентов с дробным числом лет;

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">2) начисление процентов по смешанной схеме.

;font-family:"Times New Roman"">В первом случае для расчетов применяется формула сложных процентов, в которой присутствует возведение в дробную степень:

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">FV = PV (1 + r) ;font-family:"Times New Roman";vertical-align:super;color:#000000">n+f ;font-family:"Times New Roman";color:#000000">,

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">где f — дробная часть срока вложения денежных средств.

;font-family:"Times New Roman"">Во втором случае для расчетов применяется так называемая смешанная схема, которая включает формулу начисления сложных процентов с целым числом лет и формулу начисления простых процентов для краткосрочных операций:

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">FV = PV (1 + r) ;font-family:"Times New Roman";vertical-align:super;color:#000000">n ;font-family:"Times New Roman";color:#000000"> (1 + f r),

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">или

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">FV = PV (1 + r) ;font-family:"Times New Roman";vertical-align:super;color:#000000">n ;font-family:"Times New Roman";color:#000000"> (1 + t r / Т) ;font-family:"Times New Roman";color:#52594f;display:none"> ;font-family:"Times New Roman";color:#52594f">.

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">
;font-family:"Times New Roman"">3 СРАВНЕНИЕ МЕТОДОВ ПРОСТЫХ И СЛОЖНЫХ ПРОЦЕНТОВ

">Остановимся подробнее на второй и третьей причинах (так как первая очевидна). Если совместить приведённые в предыдущем параграфе графики роста задолженности, то получится следующая картина:

;color:#000000">
">Сравнение графиков роста задолженности по методам простых и сложных процентов.

">Таким образом, если используется одна и та же процентная ставка, то:

1. ;font-family:"Times New Roman";color:#000000">для промежутков времени меньше года задолженность, найденная по методу простых процентов, всегда будет больше задолженности, найденной по методу сложных процентов;
2. ;font-family:"Times New Roman";color:#000000">для промежутков времени больше года, наоборот, задолженность, найденная по методу сложных процентов, всегда будет больше задолженности, найденной по методу простых процентов;
3. ;font-family:"Times New Roman";color:#000000">ну и, разумеется, для промежутка времени, равного одному году, результаты совпадают.

">При этом, если процентная ставка невелика, а промежуток времени — меньше года, то S ;vertical-align:sub">сл ">(t) и S ;vertical-align:sub">пр ">(t) достаточно близки друг к другу. Однако всегда надо помнить, что если эти условия не выполняются, то расхождения в результатах могут быть значительными!

">Пример
В начале 90-х годов, в период сильной инфляции, российские банки предлагали очень большие — исчисляемые сотнями процентов — процентные ставки по рублёвым вкладам и кредитам.

">В качестве примера посмотрим, к каким расхождениям может привести использование простых процентов для полугодового вклада, когда процентная ставка составляет 300% годовых. Если размер вклада составляет S рублей, то через полгода на счету вкладчика будет сумма

" xml:lang="en-US" lang="en-US">\

">Если бы банк использовал сложные проценты, то итоговая сумма составила бы

" xml:lang="en-US" lang="en-US">\

">Разница в результатах составляет ½S , или 25% относительно сложного итога.

;font-family:"Times New Roman"">4 КОМБИНИРОВАННЫЕ СХЕМЫ НАЧИСЛЕНИЯ ПРОЦЕНТОВ

">На практике для продолжительных, но не целых промежутков времени особо щепетильные кредиторы иногда применяют комбинированную схему начисления процентов. При этом для целого числа лет используется метод сложных процентов, а для нецелого «остатка» — метод простых процентов. Например, если ссуда размером 1 млн рублей выдана на 3 года и 73 дня (73 дня — это 0,2 невисокосного года) под 10% годовых, то итоговая задолженность может быть найдена следующим способом:

;color:#000000" xml:lang="en-US" lang="en-US">\(S(3,2) = (1+0,1)^3 \cdot (1+0,1 \cdot 0,2) \cdot 1\ 000\ 000 = 1\ 357\ 620\) ;color:#000000">рублей ;color:#000000" xml:lang="en-US" lang="en-US">.

">Комбинирование простых и сложных процентов может также естественным образом возникать при многократном повторении одной и той же краткосрочной операции. К примеру, банки предлагают своим клиентам краткосрочные депозиты (вклады) на сроки от месяца до года. В течение периода действия депозитного договора увеличение суммы на счету вкладчика происходит по простой схеме. По окончании срока вклада происходит капитализация (присоединение процентных денег к исходной сумме). Если клиент не забирает деньги, то договор по вкладу пролонгируется на новый срок и базой для начисления процентов становится уже увеличенная сумма. Таким образом, с точки зрения клиента банка сумма вклада, оставленного на несколько сроков, будет расти по схеме сложных процентов:

">где t — продолжительность того самого «базового» вклада, а n — число периодов.

">Пример
Некий банк предлагает своим клиентам срочные вклады сроком на полгода под простую процентную ставку 10% годовых. Если клиент этого банка положил на депозит 200 000 рублей, а затем дважды продлевал договор по вкладу, то через полтора года он снял со своего счёта

;color:#000000" xml:lang="en-US" lang="en-US">\(S(1,5) = (1+0,1 \cdot \frac{1}{2})^3 \cdot 200\ 000 = 231\ 525\) ;color:#000000">рублей ;color:#000000" xml:lang="en-US" lang="en-US">.

;font-family:"Times New Roman"">5 НОМИНАЛЬНАЯ ПРОЦЕНТНАЯ СТАВКА

">С этого параграфа мы начинаем рассмотрение метода сложных процентов, не столь часто применяемого в кредитовании, как метод простых процентов, но широко распространённого в других областях финансов. В частности, метод сложных процентов используется для начисления процентных денег по долгосрочным вкладам (продолжительностью более года).

">Напомню, что смысл этого метода выражается фразой «начисление процентов на проценты». Это значит, что задолженность заёмщика в предыдущий момент времени служит основой для начисления процентов в следующий момент. При этом размер задолженности увеличивается в геометрической прогрессии (или в соответствии с показательной функцией, если считать время непрерывным). Например, если вкладчик положил в банк 100 тысяч рублей под сложную процентную ставку i = 6%, то через, скажем, пять месяцев на его счету будет сумма

;color:#000000">S(5/12) = (1 + i) ;vertical-align:super;color:#000000">5/12 ;color:#000000">S ;vertical-align:sub;color:#000000">0 ;color:#000000"> = 1,06 ;vertical-align:super;color:#000000">5/12 ;color:#000000"> · 100 000 ≈ 102 458 рублей.

;font-family:"Times New Roman"">5.1 Понятие номинальной процентной ставки

">Понятно, что без специальной техники производить такие вычисления не очень удобно, а до недавнего времени это было возможно только с помощью специальных таблиц сза табуированными множителями наращения. Чтобы уйти от необходимости извлекать громоздкие корни при расчётах с использованием сложных процентов, для задания сложных процентных ставок на практике применяются так называемые номинальные процентные ставки. Их суть заключается в следующем.

">Если вы положили деньги в банк, то проценты по вкладу будут начисляться не непрерывно, а с некоторой периодичностью — раз в год, квартал, месяц или даже день. Этот процесс начисления процентных денег и их присоединения к сумме вклада называется «капитализацией процентов». Так вот, допустим, что капитализация процентов происходит m раз в год. Тогда, если известна j — номинальная процентная ставка по вкладу, то каждый раз при начислении процентов сумма на счету вкладчика будет увеличиваться в(1 + \dfrac{j}{m}\) раз.

">Понятно, что по сути речь здесь идёт о применении комбинированной схемы простых и сложных процентов.

">Пример
Вкладчик положил на счёт в банке сумму в 200 тысяч рублей. Если номинальная процентная ставка по вкладу равна 8%, а проценты капитализируются раз в квартал (банк, разумеется, использует сложные проценты), то через полгода (то есть после двух начислений процентов) сумма на счету вкладчика будет составлять

;color:#000000">200 000 · (1 + 0,08/4) ;vertical-align:super;color:#000000">2 ;color:#000000"> = 208 080 рублей.

;font-family:"Times New Roman"">5.2 Эффективная процентная ставка

">Если задана номинальная процентная ставка, и капитализация процентов осуществляется m раз в год, то за год сумма вклада увеличится в

" xml:lang="en-US" lang="en-US">\(\left(1+ \dfrac{j}{m} \right)^m\)

">раз.

">Так как, с другой стороны, всегда должно выполняться соотношение для сложной процентной ставки:

" xml:lang="en-US" lang="en-US">S(1) = (1+ i) S ;vertical-align:sub" xml:lang="en-US" lang="en-US">0

">то

" xml:lang="en-US" lang="en-US">\[\tag{15.1} i = \left(1+ \frac{j}{m} \right)^m - 1\]

">Найденная таким образом сложная процентная ставка называется «эффективной», так как она, в отличие от номинальной ставки, характеризует настоящую доходность (эффективность) ссудной операции.

">Пример
Если номинальная ставка по вкладу равна 18%, и проценты начисляются каждый месяц, то эффективная процентная ставка будет составлять

;color:#000000" xml:lang="en-US" lang="en-US">\(i = \left(1+ \dfrac{0,18}{12} \right)^{12} - 1 \approx 0,1956 = 19,56\%\) ;color:#000000">годовых ;color:#000000" xml:lang="en-US" lang="en-US">,

">то есть на полтора процента больше, чем заявлено.

">Вообще говоря, эффективная процентная ставка всегда больше, чем номинальная. В этом нетрудно убедиться, разложив правую часть соотношения (15.1) по формуле бинома Ньютона.

;font-family:"Times New Roman"">5.3 Непрерывное начисление сложных процентов

">Как известно, для стремящегося к бесконечности числа x существует предел

" xml:lang="en-US" lang="en-US">\[\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x} \right)^x = e,\]

">где e = 2,718281828... — основание натуральных логарифмов. Эта формула называется вторым замечательным пределом. Из неё следует, в частности, что справедливо соотношение

">\[\ " xml:lang="en-US" lang="en-US">lim ">_{ " xml:lang="en-US" lang="en-US">m "> \ " xml:lang="en-US" lang="en-US">to "> \ " xml:lang="en-US" lang="en-US">infty ">} \ " xml:lang="en-US" lang="en-US">left ">(1 + \ " xml:lang="en-US" lang="en-US">frac ">{ " xml:lang="en-US" lang="en-US">j ">}{ " xml:lang="en-US" lang="en-US">m ">} \ " xml:lang="en-US" lang="en-US">right ">)^ " xml:lang="en-US" lang="en-US">m "> = " xml:lang="en-US" lang="en-US">e ">^ " xml:lang="en-US" lang="en-US">j ">\]

">Значит, если капитализация процентов осуществляется достаточно часто, например, ежедневно, то эффективную процентную ставку можно приближённо найти следующим образом:

">\[\ " xml:lang="en-US" lang="en-US">tag ">{15.2} " xml:lang="en-US" lang="en-US">i "> \ " xml:lang="en-US" lang="en-US">approxe ">^ " xml:lang="en-US" lang="en-US">j "> - 1\]

">Пример
Снова будем предполагать, что номинальная процентная ставка по вкладу составляет 18%, но капитализация процентов осуществляется ежедневно (m = 365). Точное значение эффективной процентной ставки, найденное по формуле (15.1), будет равно

">Если же использовать приближённую формулу (15.2), то можно получить следующий результат:

;color:#000000">i ≈ e ;vertical-align:super;color:#000000">0,18 ;color:#000000"> – 1 = 0,197217...

">Как видите, расхождение совсем невелико.

6 Процентные начисления

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">Для начисления процентов по вкладам (депозитам), да и кредитам тоже, применяются следующие формулы процентов:

1. ;font-family:"Times New Roman";color:#000000">формула простых процентов,
2. ;font-family:"Times New Roman";color:#000000">формула сложных процентов.

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">Порядок начисления процентов формулам осуществляется с использованием фиксированной или плавающей ставки.

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">Фиксированная ставка, это когда установленная по вкладу банка процентная ставка, закреплена в депозитном договоре и остается неизменной весь срок вложения средств, т.е. фиксируется. Такая ставка может измениться только в момент автоматической пролонгации договора на новый срок или при досрочном расторжении договорных отношений и выплате процентов за фактический срок вложения по ставке «до востребования», что оговаривается условиями.

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">Плавающая ставка, это когда первоначально установленная по договору процентная ставка может меняться в течение всего срока вложения. Условия и порядок изменения ставок оговариваются в депозитном договоре. Процентные ставки могут изменяться: в связи с изменениями ставки рефинансирования, с изменением курса валюты, с переходом суммы вклада в другую категорию, и другими факторами.

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">Для начисления процентов с применением формул, необходимо знать параметры вложения средств на депозитный счет, а именно:

1. ;font-family:"Times New Roman";color:#000000">сумму вклада (депозита),
2. ;font-family:"Times New Roman";color:#000000">процентную ставку по выбранному вкладу (депозиту),
3. ;font-family:"Times New Roman";color:#000000">цикличность начисления процентов (ежедневно, ежемесячно, ежеквартально и т.д.),
4. ;font-family:"Times New Roman";color:#000000">срок размещения вклада (депозита),
5. ;font-family:"Times New Roman";color:#000000">иногда требуется и вид используемой процентной ставки - фиксированной или плавающей.

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">Формула простых процентов применяется, если начисляемые на вклад проценты причисляются к вкладу только в конце срока депозита или вообще не причисляются, а переводятся на отдельный счет, т.е. расчет простых процентов не предусматривает капитализации процентов. При выборе вида вклада, на порядок начисления процентов стоит обращать внимание. Когда сумма вклада и срок размещения значительные, а банком применяется формула простых процентов, это приводит к занижению суммы процентного дохода вкладчика.

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">Формула простых процентов по вкладам выглядит так:

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">S — сумма денежных средств, причитающихся к возврату вкладчику по окончании срока депозита. Она состоит из первоначальной суммы размещенных денежных средств, плюс начисленные проценты.

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">

;font-family:"Times New Roman";color:#000000" xml:lang="en-US" lang="en-US">t ;font-family:"Times New Roman";color:#000000"> - количество дней начисления процентов по привлеченному вкладу.

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">P – первоначальная сумма привлеченных в депозит денежных средств.

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">Если начисляемые по вкладу проценты, причисляются к вкладу через равные промежутки времени (ежедневно, ежемесячно, ежеквартально), то в этих случаях сумма процентов рассчитывается по формуле сложных процентов. Сложные проценты предусматривают капитализацию процентов (начисление процентов на проценты). Для расчета сложных процентов можно применять две формулы сложных процентов по вкладам, которые выглядят так:

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">I – годовая процентная ставка.

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">t – количество дней начисления процентов по привлеченному вкладу.

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">K – количество дней в календарном году (365 или 366).

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">P – сумма привлеченных в депозит денежных средств.

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">Sp – сумма процентов (доходов).

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">n — число периодов начисления процентов.

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">S — сумма вклада (депозита) с процентами.

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">Однако, при расчете процентов проще сначала вычислить общую сумму вклада с процентами, и только затем вычислять сумму процентов (доходов). ;font-family:"Times New Roman"">
БИБЛИОРГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. ;font-family:"Times New Roman"">Техника финансово-экономических расчетов: Учеб.пособие. – М.: Финансы и математика, 2000. – 80с.: ил.
2. ;font-family:"Times New Roman"">Джон К. ХаллГлава 4. Процентные ставки // Опционы, фьючерсы и другие производные финансовые инструменты = Options, FuturesandOtherDerivatives. — 6-е изд. — М.: ;font-family:"Times New Roman"">«Вильямс» ;font-family:"Times New Roman"">, 2007. — С. 133-165.
3. ;font-family:"Times New Roman"">http://forexaw.com/Cont-Economy/
4. ;font-family:"Times New Roman"">http://www.bibliotekar.ru/
5. ;font-family:"Times New Roman"">http://ru.wikipedia.org/

;font-family:"Times New Roman"">
ЗАКЛЮЧЕНИЕ

;font-family:"Times New Roman"">В настоящее время в условиях стабилизации экономики ниша услуг банковского кредитования для российского рынка еще не заполнена, т.е. можно выделить кредитование как наиболее перспективное средство получения доходов банками.

;font-family:"Times New Roman"">В условиях стабилизации экономики наметилась тенденция увеличения объема заимствований в промышленности и банкам для привлечения потенциальных заемщиков. Необходимо определить величину процентной ставки кредитования, как наиболее важный фактор, влияющий на выбор заемщиком того или иного банка, а, следовательно, необходимо более детально рассматривать составляющие, формирующие величину процентной ставки, влияющие на стоимость кредитов.

;font-family:"Times New Roman"">Также в условиях стабилизации экономики становится возможным расширение такого перспективного направления, обладающего огромным потенциалом – кредитование потребительского сектора. И здесь процентная ставка также решает определяющую роль в привлечении частных кредитозаемщиков.

;font-family:"Times New Roman"">
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

;font-family:"Times New Roman"">Задача 1

;font-family:"Times New Roman"">Банк предлагает 17 % годовых за размещение денежных средств на открываемых им депозитных счетах. Используя формулу дисконтирования, рассчитайте размер первоначального вклада, чтобы через 4 года иметь на счете 180 тыс. руб.

;font-family:"Times New Roman"">Решение

;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US">S = P * (1+i) ;font-family:"Times New Roman";vertical-align:super" xml:lang="en-US" lang="en-US">n

;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US">180 000 = P * (1+0,17) ;font-family:"Times New Roman";vertical-align:super" xml:lang="en-US" lang="en-US">4

;font-family:"Times New Roman"">180 ;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US"> ;font-family:"Times New Roman"">000 = ;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US">P ;font-family:"Times New Roman""> * 1,8738

;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US">P ;font-family:"Times New Roman""> = 96 ;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US"> ;font-family:"Times New Roman"">061руб.

;font-family:"Times New Roman"">Ответ: для того, чтобы иметь на вкладе через 4 года 180 тыс. руб. необходимо, чтобы размер первоначального вклада составлял 96 061 рубль.

;font-family:"Times New Roman"">Задача 2

;font-family:"Times New Roman"">Гражданин получил в банке ипотечную ссуду в размере 1,5 млн руб. сроком на 8 лет на следующих условиях: для первого года процентная ставка сложных процентов равна 14% годовых; на следующие два года устанавливается маржа в размере 0,5% и на последующие годы маржа равна 0,7%. Найти сумму, которую гражданин должен вернуть в банк по окончании срока ссуды.

;font-family:"Times New Roman"">Решение

;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US">S = P×((1+i1)*n1 +(1+i2)*n2 + …+(1+ik)*nk)

;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US">S ;font-family:"Times New Roman""> = 1 ;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US"> ;font-family:"Times New Roman"">500 ;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US"> ;font-family:"Times New Roman"">000 × ((1+0,14) + (1+0,145)*2 + (1+0,152)*5)) = 1 ;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US"> ;font-family:"Times New Roman"">500 ;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US"> ;font-family:"Times New Roman"">000 *9,19 = 13 ;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US"> ;font-family:"Times New Roman"">785 ;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US"> ;font-family:"Times New Roman"">000 рублей.

;font-family:"Times New Roman"">Ответ: гражданин по окончанию срока ссуды должен вернуть в банк 13, 785 млн. рублей.

;font-family:"Times New Roman"">Задача 3

;font-family:"Times New Roman"">Организация, имея свободные денежные средства в размере 2-х млн руб., намерена инвестировать их на срок 5 лет. Возможны два варианта вложений, определите более выгодный из них:

;font-family:"Times New Roman"">а) средства вносятся на депозитный счет в банке с начислением процентов каждые 6 месяцев по ставке 18% годовых;

;font-family:"Times New Roman"">б) средства передаются другой организации в качестве ссуды с начислением 24% ежегодно.

;font-family:"Times New Roman"">Решение

;font-family:"Times New Roman"">а) ;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US">S ;font-family:"Times New Roman""> = 2 000 ;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US"> ;font-family:"Times New Roman"">000 * (1+0,18/2) ;font-family:"Times New Roman";vertical-align:super">10 ;font-family:"Times New Roman"">= 2 ;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US"> ;font-family:"Times New Roman"">000 ;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US"> ;font-family:"Times New Roman"">000 * 2,37= 4 740 000 руб.

;font-family:"Times New Roman"">б) ;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US">S ;font-family:"Times New Roman""> = 2 ;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US"> ;font-family:"Times New Roman"">000 ;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US"> ;font-family:"Times New Roman"">000 * (1+0,24) ;font-family:"Times New Roman";vertical-align:super">5 ;font-family:"Times New Roman"">= 2 ;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US"> ;font-family:"Times New Roman"">000 ;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US"> ;font-family:"Times New Roman"">000 * 2,93 = 5 ;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US"> ;font-family:"Times New Roman"">860 ;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US"> ;font-family:"Times New Roman"">000 руб.

;font-family:"Times New Roman"">Ответ: второй вариант более выгодный.

;font-family:"Times New Roman"">Задача 4

;font-family:"Times New Roman"">Определите необходимую сумму вклада в настоящем, чтобы через два года иметь накопления в размере 150 тыс. руб. Годовая ставка процента 11%, начисление процентов производится 1 раз в квартал по схеме сложного процента.

;font-family:"Times New Roman"">Решение

;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US">S = P * (1+i/m) ;font-family:"Times New Roman";vertical-align:super" xml:lang="en-US" lang="en-US">m*n

;font-family:"Times New Roman"">150 ;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US"> ;font-family:"Times New Roman"">000 = ;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US">P ;font-family:"Times New Roman"">* ;font-family:"Times New Roman";vertical-align:super"> ;font-family:"Times New Roman"">(1+0,11/4) ;font-family:"Times New Roman";vertical-align:super">4*2

;font-family:"Times New Roman"">150 ;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US"> ;font-family:"Times New Roman"">000 = ;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US">P ;font-family:"Times New Roman"">* (1+0,0275) ;font-family:"Times New Roman";vertical-align:super">8 ;font-family:"Times New Roman"">

;font-family:"Times New Roman"">150 ;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US"> ;font-family:"Times New Roman"">000 = ;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US">P ;font-family:"Times New Roman"">*1,24

;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US">P ;font-family:"Times New Roman""> = 120 ;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US"> ;font-family:"Times New Roman"">968

;font-family:"Times New Roman"">Ответ: необходимая сумма вклада - 120 968 рублей.

;font-family:"Times New Roman"">Задача 5

;font-family:"Times New Roman"">Через полгода после заключения финансового соглашения о получении кредита должник обязан заплатить 317 тыс. руб. Какова первоначальная величина кредита, если он выдан под 18% годовых и начисляются простые проценты с приближенным числом дней?

;font-family:"Times New Roman"">Решение

;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US">S =P × (1+n×i)

;font-family:"Times New Roman"">где ;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US">S ;font-family:"Times New Roman""> - наращенная сумма,

;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US">P ;font-family:"Times New Roman""> - сумма долга,

;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US">n ;font-family:"Times New Roman""> - срок (доля от года),

;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US">i ;font-family:"Times New Roman""> - ставка процента.

;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US">P ;font-family:"Times New Roman""> = ;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US">S ;font-family:"Times New Roman"">/ (1+ ;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US">n ;font-family:"Times New Roman"">× ;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US">i ;font-family:"Times New Roman"">)

;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US">n ;font-family:"Times New Roman""> = 180/360 = 0,5.

;font-family:"Times New Roman"">Р = 317 000 / (1 + 0,5×0,18) = 317 000 /1, 09 = 290 826 руб.

;font-family:"Times New Roman"">Ответ: первоначальная величина кредита составила 290 826 рублей.

Сложный процент - это сумма дохода, которая начисляется в каждом интервале и присоединяется к основной сумме капитала и участвует в качестве базы для начисления в последующих периодах. Начисление сложных процентов применяется, как правило, при долгосрочных финансовых операциях (например, инвестировании).При расчете суммы будущей стоимости (Sc) применяется формула:

Sc = P * (1 + i)n.

Соответственно, сумма сложного процента определяется: Ic = Sc - P,

где Ic - сумма сложных процентов за установленный период времени; Р - первоначальная стоимость денег; n - количество периодов, по которым осуществляется расчет процентных платежей; i - используемая процентная ставка, выраженная в долях единицы.

Формулы расчета сложных процентов являются базовыми в финансовых вычислениях. Экономический смысл множителя (1 + i)n состоит в том, что он показывает, чему будет равен один рубль через nпериодов при заданной процентной ставке i. Для упрощения процедуры расчетов разработаны специальные финансовые таблицы для расчета сложных процентов, которые позволяют определить будущую и настоящую стоимость денег.

Настоящая стоимость денег (Рс) при начислении сложных процентов равна: Рс = Sc / (1 + i)n

Сумма дисконта (Dc) определяется: D c = Sc - Рс .

При расчете временной стоимости денег в условиях применения сложных процентов необходимо иметь в виду, что на результаты оценки влияет не только процентная ставка, но и число интервалов выплат в течение всего платежного периода, что приводит к тому, что в ряде случаев более выгодно инвестировать деньги под меньшую ставку, но с большим количеством выплат в течение платежного периода.

Оценка стоимости денег при аннуитете связан с использованием наиболее сложных алгоритмов и определением метода начисления процента - предварительным (пренумерандо) или последующим (постнумерандо).1. При расчете будущей стоимости аннуитета на условиях предварительных платежей (пренумерандо) используется следующая формула: SA pre =R * {[(1 + i) n -1] / i} * (1 + i)

где SA pre - будущая стоимость аннуитета, осуществляемого на условиях предварительных платежей (пренумерандо); R - член аннуитета, характеризующий размер отдельного платежа; i - используемая процентная ставка, выраженная десятичной дробью; n - количество интервалов, по которым осуществляется каждый платеж, в общем обусловленном периоде времени. 2. При расчете будущей стоимости аннуитета, осуществляемого на условиях последующих платежей (постнумерандо), применяется следующая формула: SA post = R * {[(1 + i) n -1] / i}

3. При расчете настоящей стоимости аннуитета, осуществляемого на условиях предварительных платежей (пренумерандо), используется следующая формула:PA pre = R * {[(1 + i) - n - 1] / i} * (1 + i)

4. При расчете настоящей стоимости аннуитета, осуществляемого на условиях последующих платежей (постнумерандо), применяется следующая формула: PApost = R * {[(1 + i) - n - 1] / i}

5. При расчете размера отдельного платежа при заданной будущей стоимости аннуитета используется следующая формула: R = SA post * {i / [(1 + i) n - 1]} (В вопросе есть, но думаю это не нужно)

Концепция учета фактора инфляции заключается в необходимости реального отражения стоимости активов и денежных потоков и обеспечения возмещения потерь доходов, вызываемых инфляционными процессами, при осуществлении долговременных финансовых операций.

Инфляция - процесс постоянного превышения темпов роста денежной массы над товарной (включая стоимость работ и услуг), в результате чего происходит переполнение каналов обращения деньгами, что приводит к их обесценению и росту цен на товары.

Рассмотрим наиболее важные термины и понятия, применяемые при оценке инфляционных процессов.

Номинальная процентная ставка - это ставка, устанавливаемая без учета изменения покупательной стоимости денег в связи с инфляцией.

Реальная процентная ставка - это ставка, устанавливаемая с учетом изменения покупательной стоимости денег в связи с инфляцией.

Инфляционная премия - это дополнительный доход, выплачиваемый (или предусмотренный к выплате) кредитору или инвестору с целью возмещения потерь от обесценения денег, связанного с инфляцией.

Для прогнозирования годового темпа инфляции используется формула: ТИг = (1 + ТИм)^12 - 1,

где ТИг - прогнозируемый годовой темп инфляции, в долях единицы; ТИм - ожидаемый среднемесячный темп инфляции в предстоящем периоде, в долях единицы.

Для оценки будущей стоимости денег с учетом фактора инфляции используется формула, построенная на основе модели Фишера: S = P x [(l + Ip) x (1 + T)]n - 1,

где S - номинальная будущая стоимость вклада с учетом фактора инфляции; Р - первоначальная стоимость вклада; Iр - процентная ставка, в долях единицы; Т - прогнозируемый темп инфляции, в долях единицы; n - количество интервалов, по которым осуществляется начисление процентов.

Модель Фишера имеет вид : I = i + а + i * а ,

где I - реальная процентная премия; i - номинальная процентная ставка; а - темп инфляции.

Эта модель предполагает, что для оценки целесообразности инвестиций в условиях инфляции недостаточно просто сложить номинальную процентную ставку и прогнозируемый темп инфляции, необходимо к ним добавить сумму, представляющую собой их произведение i * а.

Необходимо отметить, что прогнозирование темпов инфляции является достаточно сложным и трудоемким процессом, результаты которого имеют вероятностный характер и подвержены существенному влиянию субъективных факторов. На практике для упрощения расчетов и избежания необходимости учета инфляции расчеты выполняются в твердых валютах.

Концепция учета фактора риска состоит в оценке его уровня с целью обеспечения формирования необходимого уровня доходности финансово-хозяйственных операций и разработки системы мероприятий, позволяющих минимизировать его негативные финансовые последствия. Под доходностью понимают отношение дохода, создаваемого определенным активом, к величине инвестиций в этот актив. Предпринимательская деятельность всегда сопряжена с риском. В то же время между риском и доходностью этой деятельности обычно прослеживается четкая зависимость: чем выше требуемая или предполагаемая доходность (т.е. отдача на вложенный капитал), тем выше степень риска, связанная с возможностью неполучения этой доходности, и наоборот. При принятии управленческих решений могут ставиться различные задачи, в том числе: максимизации доходности или минимизации риска, но, как правило, чаще речь идет о достижении разумного соотношения между риском и доходностью. В рамках финансового менеджмента категория риска имеет важное значение при принятии решений по структуре капитала, формированию инвестиционного портфеля, обоснованию дивидендной политики и др.

Для оценки риска применяются качественные и количественные методы, в том числе: анализ чувствительности, анализ сценариев, метод Монте-Карло и др.

Для оценки уровня финансового риска (УР), показателя, характеризующего вероятность возникновения определенного вида риска и размер возможных финансовых потерь при его реализации, применяется формула: УР = ВР х РП , где ВР - вероятность возникновения данного финансового риска; РП- размер возможных финансовых потерь при реализации данного риска.

Концепция и методика учета фактора ликвидности:

1) Величина собственных оборотных средств: WC=CA-CL, где CA – оборотные активы, CL – краткосрочные пассивы.

2) Коэффициент текущей ликвидности: Ktl = оборотные средства/краткосрочные пассивы.

Коэффициент отражает способность компании погашать текущие (краткосрочные) обязательства за счёт только оборотных активов. Чем показатель больше, тем лучше платежеспособность предприятия. Принимая во внимание степень ликвидности активов, можно предположить, что не все активы можно реализовать в срочном порядке. Нормальным считается значение коэффициента от 1.5 до 2.5, в зависимости от отрасли. Значение ниже 1 говорит о высоком финансовом риске, связанном с тем, что предприятие не в состоянии стабильно оплачивать текущие счета. Значение более 3 может свидетельствовать о нерациональной структуре капитала.

3) Коэффициент быстрой ликвидности: Kbl = Краткосрочная дебиторская задолженность + Краткосрочные финансовые вложения + Денежные средства) / (Краткосрочные пассивы – Доходы будущих периодов – Резервы предстоящих расходов) или Kbl = (Текущие активы – Запасы) / Текущие обязательства (показатель должен быть <1. 1 – низкий показатель). Коэффициент отражает способность компании погашать свои текущие обязательства в случае возникновения сложностей с реализацией продукции.

4) Коэф-т абсолютной ликвидности = (Денежные средства + краткосрочные финансовые вложения) / Текущие обязательства или Денежные средства / (Краткосрочные пассивы – Доходы будущих периодов – Резервы предстоящих расходов).

1.2. Методики выплаты дивидендов.

Методики выплаты дивидендов :

Методика постоянного процентного распределения прибыли . Данная методика подразумевает стабильный в течение продолжительного времени процент чистой прибыли, направляемый на выплату дивидендов по обыкновенным акциям (например, 40% от чистой прибыли ежегодно).

Преимущества : наличие непосредственно взаимосвязи дивидендных выплат с финансовым результатом деятельности предприятия.

Недостаток заключается в возможном существенном колебании курсовой стоимости акций предприятия, при изменении дивидендных выплат в денежном выражении приходящихся на одну обыкновенную акцию.

2) Методика фиксированных дивидендных выплат . Данная методика подразумевает регулярную выплату дивидендов на одну акцию в неизменном размере в течение длительного периода времени безотносительно к изменению финансового состояния предприятия. Данная величина дивидендных выплат может корректироваться на индекс инфляции.

Преимущество заключается в ощущении надежности, которое создает у акционеров чувство уверенности в неизменности текущего дохода в независимости от различных обстоятельств. Кроме того, данная методика позволяет избежать существенных колебаний курсовой стоимости акций.

Недостаток заключается в отсутствии взаимосвязи между дивидендными выплатами и финансовыми результатами деятельности предприятия, поэтому в неблагоприятные для предприятия периоды, у него может оказаться недостаточно денежных средств не только для развития, но и для обеспечения основной деятельности.

3) Методика выплаты гарантированного минимума и экстра-дивидендов . Данная методика предусматривает регулярные выплаты фиксированной суммы дивидендов, в случае благоприятной конъюнктуры рынка и большой величины полученной чистой прибыли, акционерам выплачиваются экстра-дивиденды. Таким образом, ежегодный доход акционеров складывается из фиксированных на минимальном уровне дивидендов и периодически выплачиваемых, в зависимости от финансового результата, экстра-дивидендов.

Преимущество заключается в ощущении надежности, которое появляется у акционеров в связи с выплатой дивидендов в минимально установленном размере в независимости от финансовых результатов. Кроме того, прослеживается высокая взаимосвязь между дивидендными выплатами и финансовыми результатами деятельности предприятия, которая позволяет увеличить размер дивидендных выплат (экстра-дивиденды) в благоприятные периоды для предприятия без снижения его инвестированной активности.

Недостаток заключается в том, что при продолжительной выплате минимальных фиксированных дивидендов снижается инвестиционная привлекательность акций предприятия, в противном случае при регулярных выплатах экстра-дивидендов уменьшается их стимулирующее воздействие на акционеров.

4) Методика постоянного возрастания размера дивидендов . Данная методика предусматривает стабильное повышение уровня дивидендных выплат в расчете на одну акцию, прирост размера дивидендов производится, как правило, в твердо установленном проценте к уровню дивидендов предшествующем периоде.

Преимущество заключается в обеспечении высокой рыночной стоимости акций предприятия и их привлекательности, как для акционеров, так и для потенциальных инвесторов.

Недостаток заключается в ее негибкости и постоянном нарастании финансовой напряженности, а также в отставании темпов роста прибыли от темпов роста дивидендных выплат, что означает сокращение размера реинвестируемой прибыли, снижение финансовой устойчивости предприятия.

5) Методика выплаты дивидендов по остаточному принципу . Данная методика подразумевает выплату дивидендов в последнюю очередь после финансирования всех эффективных инвестиционных проектов. Дивидендные выплаты определяются после того, как за счет прибыли отчетного года сформирован достаточный объем финансовых ресурсов, обеспечивающий реализацию наиболее доходных инвестиционных проектов предприятия.

Преимущества заключаются в обеспечении высоких темпов развития предприятия, повышении его рыночной стоимости и сохранении финансовой устойчивости.

Недостатки:

1) выплата дивидендов не является гарантированной и регулярной;

2) размер дивидендов не фиксирован и меняется в зависимости от финансовых результатов и объема собственных средств, направляемых на инвестиции;

3) дивиденды, выплачиваются только, в том случае, если у предприятия остается чистая прибыль, не востребованная на развитие предприятия.

6) Методика выплаты дивидендов акциями . Данная методика предусматривает выдачу акционерам в виде дивидендных выплат вместо денежных средств дополнительного пакета акций. Небольшая сумма дивидендов, выплачиваемая таким образом, не оказывает существенного влияния на рыночную стоимость акций, если же дивиденды значительны, то рыночная цена акций после дополнительной эмиссии может существенно снизится. Предприятия чаще всего вынуждены использовать данную методику при нестабильном финансовом положении и отсутствии высоко ликвидных активов для расчетов с акционерами, либо при необходимости реинвестирования прибыли в высокоэффективный проект.

Недостаток заключается в существенных колебаниях рыночного курса акций, вследствие появления на рынке дополнительного объема акций данного предприятия.

2. Методика расчета и область применения сложных процентов

Сложный процент - это сумма дохода, которая начисляется в каждом интервале и присоединяется к основной сумме капитала и участвует в качестве базы для начисления в последующих периодах. Начисление сложных процентов применяется, как правило, при долгосрочных финансовых операциях (например, инвестировании).

При расчете суммы будущей стоимости (Sc) применяется формула:

Sc = P * (1 + i) n .

Соответственно, сумма сложного процента определяется:

где Ic - сумма сложных процентов за установленный период времени; Р - первоначальная стоимость денег; n - количество периодов, по которым осуществляется расчет процентных платежей; i - используемая процентная ставка, выраженная в долях единицы.

Формулы расчета сложных процентов являются базовыми в финансовых вычислениях. Экономический смысл множителя (1 + i)nсостоит в том, что он показывает, чему будет равен один рубль через nпериодов при заданной процентной ставке i. Для упрощения процедуры расчетов разработаны специальные финансовые таблицы для расчета сложных процентов, которые позволяют определить будущую и настоящую стоимость денег.

Настоящая стоимость денег (Рс) при начислении сложных процентов равна:

Рс = Sc / (1 + i) n

Сумма дисконта (Dc) определяется:

D c = Sc - Рс.

При расчете временной стоимости денег в условиях применения сложных процентов необходимо иметь в виду, что на результаты оценки влияет не только процентная ставка, но и число интервалов выплат в течение всего платежного периода, что приводит к тому, что в ряде случаев более выгодно инвестировать деньги под меньшую ставку, но с большим количеством выплат в течение платежного периода.

С экономической точки зрения метод сложных процентов является более обоснованным, так как он выражает возможность непрерывного реинвестирования (повторного вложения) денежных средств. Тем не менее, для краткосрочных (продолжительностью менее года) финансовых операций чаще всего используется метод простых процентов. Тому есть несколько причин:

Во-первых, и ещё несколько десятилетий назад это было достаточно актуально, расчёты с применением метода простых процентов намного проще, чем расчёты с применением метода сложных процентов.

Во-вторых, при небольших процентных ставках (в пределах 30%) и небольших промежутках времени (в пределах одного года) результаты, полученные с помощью метода простых процентов, довольно близки к результатам, полученным с применением метода сложных процентов (расхождение в пределах 1%). Если словосочетание «формула Тэйлора» вам о чём-то говорит, то вы поймёте, почему это так.

В-третьих, и, возможно, это основная причина, задолженность, найденная с помощью метода простых процентов для промежутка времени меньше года, всегда больше , чем задолженность, найденная с применением метода сложных процентов. Так как правила игры всегда диктует кредитор, то понятно, что в таком случае он выберет первый метод.

Замечание : краткосрочные операции (продолжительностью менее года) составляют основную массу всех финансовых операций. Почему? Потому что долгосрочные кредиты, погашаемые по частям раз в месяц или раз в квартал (или даже раз в полугодие) - это не одна большая финансовая операция, а совокупность большого числа непродолжительных операций (длиною в месяц, квартал или полугодие). Именно поэтому в России для начисления процентов по любым кредитам используется метод простых процентов

Применение схемы сложных процентов целесообразно в тех случаях, когда:

- проценты не выплачиваются по мере их начисления, а присоединяются к первоначальной сумме долга. Присоединение начисленных процентов к сумме долга, которая служит базой для их начисления, называется капитализацией процентов;

- срок ссуды более года.

Вариант 3.

Баланс предприятия имеет следующий вид:

	Сумма тыс. руб.		Сумма тыс. руб.
Внеоборотные активы		Уставной капитал
		Долгосрочные кредиты и займы
Дебиторская задолженность свыше 12 месяцев		Краткосрочные кредиты и займы
Дебиторская задолженность менее 12 месяцев		Кредиторская задолженность
Денежные средства		Прочие краткосрочные обязательства

Выручка от реализации в отчетном периоде составила 14500 рублей; себестоимость реализованной продукции 10100 рублей. Произвести анализ деловой активности предприятия.

Деловая активность предприятия в финансовом аспекте проявляется прежде всего в скорости оборота его средств. Рентабельность предприятия отражает степень прибыльности его деятельности. Анализ деловой активности и рентабельности заключается в исследований уровней и динамики разнообразных финансовых коэффициентов оборачиваемости и рентабельности, которые являются относительными показателями финансовых результатов деятельности предприятия.

Анализ деловой активности позволяет выявить, насколько эффективно предприятие использует свои средства.

1.Коэффициент оборачиваемости активов = Выручка/Активы(стр.10 формы №2/стр.300 форма №1)

Коб.=14500/23250=0,62

Коэффициент показывает, что с одного рубля активов предприятие в среднем получает 0,62 руб. выручки или в среднем за год активы совершают 0,62 оборота.

2.Продолжительность одного оборота в днях = Количество дней анализируемого периода /коэффициент оборачиваемости

ПО =365 дн./0,62 =180(дней)

Чем выше показатель оборачиваемости, тем выше быстрее можно реализовать товарно-материальные ценности, в случае необходимости- погасить долг.

3.Показатель оборачиваемости собственных средств предприятия =Выручка от реализации/ Собственные средства

К об. соб. ср.= 10100/5000 =2,02

Скорость оборота собственных средств отражает активность их использования. В данном случае она высокая, значит уровень продаж значительно превышает вложенный капитал.

4.Показатели рентабельности характеризуют прибыльность деятельности компании.

К рент. = Балансовая прибыль/Выручка *100% (Ф2(140)/Ф2(010))

К рент.=(4400/14500) *100% =30,35

Коэффициент показывает сколько прибыли приходится на единицу реализованной продукции.

Предприниматель может получить ссуду по одному из трех вариантов:

на условиях ежеквартального начисления процентов из расчета 35 % годовых;

на условиях полугодового начисления процентов из расчета 40% годовых;

на условиях ежемесячного начисления процентов из расчета 30% годовых.

Какой вариант более предпочтителен?

Относительные расходы предприниматель по обслуживанию ссуды могут быть определены с помощью расчета эффективной годовой процентной ставки, чем она выше, тем больше уровень расходов, по формуле:

re =(1+r/m) m -1

re- эффективная ставка (зависит от внутригодовых начислений)

1.На условиях ежеквартального начисления (35% годовых):

re = (1+0,35/4) 4 -1=(1+ 0,0875) 4 -1=1,9567-1=0,9567

2. На условиях полугодового начисления (40% годовых):

re = (1+0,4/2) 2 -1=(1+ 0,02) 2 -1=1,440-1=0,440

3.На условиях ежемесячного начисления (30% годовых):

re = (1+0,30/12) 12 -1=(1+ 0,025) 12 -1=1,3449-1=0,3449

Таким образом, вариант 3 является более предпочтительным для предпринимателя. Необходимо отметить, что принятия решения не зависит от величины кредита, поскольку критерием является относительный показатель – эффективная ставка, а она, как следует из формулы, зависит лишь от номинальной ставки и количества начислений.

В первый год работы предприятия выручка от реализации составила 12 000 рублей, переменные затраты 9000 рублей, постоянные 1300 рублей. В следующем году планируется увеличение выручки от реализации до 14 000 рублей.

Определить как измениться при этом прибыль предприятия:

а) традиционным способом;

б) с помощью операционного рычага.

Эффект производственного рычага (ЭПР) – это потенциальная возможность влиять на прибыль от продаж путем изменения структуры себестоимости, а именно соотношение между переменными и постоянными затратами.

Суть эффекта производственного рычага6 любое изменение выручки от продаж приводит к еще большему изменению прибыли.

1.Традиционным способом:

ПР= Выручка от реализации –Переменные затраты – Постоянные затраты

ПР = 12000-9000-1300 = 1700

К=14000/12000=1,167 (коэффициент изменения выручки от продаж)

(14000/12000)*100% -100=16,7 % (на столько процентов увеличилась выручка от реализации)

ПР1 = 14000-1300-9000*1,167 = 2197

% ПР =(2197/1700)*100%-100=129,23%-100%=29,23% - рост

2. С помощью операционного рычага:

% ПР =% в* ЭПР

ЭПР =ВМ/прибыль =(Выручка – переменные затраты)/ прибыль

ЭПР =(12000-9000)/1700=1,76 (эффект производственного рычага)

Находим процент изменения прибыли

% ПР= 16,7*1,76 = 29,39%- рост

	Цена руб./шт.	Объем реализации	Выручка, руб.	Удельные переменные издержки	Общие переменные издержки, руб.	Удельные постоянные издержки	Общие постоянные издержки, руб.	Удельные совокупные издержки	Совокупные издержки, руб.	Прибыль(убыток) на единицу	Прибыль(убыток) на весь объем

Краткое теоретическое обоснование

В средне- и долгосрочных финансовых и коммерческих операциях проценты могут выплачиваться не сразу после их начисления, а присоединяться к сумме долга. В этом случае для наращения применяют сложные проценты.

При начислении сложных процентов (compound interest) принимается такой способ, при котором за базу начисления процентов принимается сумма, полученная на предыдущем этапе наращения или дисконтирования. В этом случае часто говорят, что проценты начисляются на проценты.

В отличие от простых процентов база для начисления сложных процентов не остается постоянной, а увеличивается с каждым шагом во времени. Наращение по сложным процентам представляет собой последовательное реинвестирование средств, вложенных под простые проценты на один период начисления.

Наращенная сумма по сложным процентам рассчитывается по формуле S=Р(1+r) t , где t – количество периодов начисления.

Пример 2.1. Какой величины достигнет величина долга, равного 1 млн. руб. через пять лет при росте по сложной ставке 15,5% годовых?

S =1 000 000(1+0,155) 5 =2 055 464,22 руб. 

В договорах обычно указываются годовая ставка r и количество начислений процентов m в течение года. Это означает, что базовый период составляет год, деленный на m , а ставка сложных процентов для периода равна r / m . Формула для сложных процентов с учетом знаков финансовых функций Excel приобретет вид: S+Р(1+ r / m ) t = 0. Параметр t измеряется в периодах. Если начисление происходит k лет, то формула приобретает вид S+P(1+r / m ) km =0.

Помимо фиксированных во времени процентных ставок применяют «плавающие» ставки (floating rate). Сумма наращения с переменными ставками определяется по формуле: , где
– последовательные во времени значения процентных ставок;
– периоды действия соответствующих ставок.

Пример 2.2. Ссуда выдана на 5 лет. Фиксированная часть процентной ставки установлена в 12% годовых плюс надбавки (маржа) 0,5% в первые два года и 0,75% - в остальные. Найти множитель наращения.

Множитель наращения составит:

q = (1+0,125) 2 (1+0,1275) 3 =1,81407 

Часто период начисления процентов не составляет целое число лет. В этом случае для начисления применяют два метода. При общем методе расчет ведется по формуле сложных процентов. При смешанном методе за целое число лет проценты начисляют по формуле сложных процентов, а за дробную часть периода – по формуле простых процентов:
, гдеa + b = t ; a – целое число периодов; b – дробная часть периода t .

Порядок выполнения работы

Для расчетов задач начисления сложных процентов используем тот же алгоритм работы и финансовые функции, что и для простых процентов.

В ячейку В1 поместим величину начального значения вклада. В ячейки B2:G2 разместим числа 0, 1,..., 5, в ячейки АЗ:А7 величины 10 %, 20 %,..., 50 % (эти числа заносятся с использованием приемов генерации арифметических прогрессий). Нужно табулировать функцию двух переменных (процентная ставка и количество лет), зависящую от параметра – начального вклада. Введем в ячейку ВЗ формулу =БС ($АЗ, В$2, -$В$1). Формула копируется в остальные ячейки интервала B3:G7. 

Пример 2.4. Ссуда в 20000 долл. дана на полтора года под ставку 28 % годовых с ежеквартальным начислением. Определить сумму конечного платежа.

Здесь базовый период - квартал. Срок ссуды составляет 6 периодов (4 квартала в году, срок полтора года), за период начисляется 7 %=28 %/4. Тогда формула, дающая решение задачи, имеет вид: = БC (28 % / 4, 4 * 1.5, 20000). Она возвращает результат -$ 30014.61. 

Задачи

4. Банк принимает вклад на срок 3 месяца с объявленной годовой ставкой 100 % или на 6 месяцев под 110 %. Как выгоднее вкладывать деньги на полгода: дважды на три месяца или один раз на 6 месяцев?

5. Сумма 2000 руб. размещена под 9 % годовых на 3 года. Проценты начисляются раз в квартал. Какая сумма будет на счете?

6. Какова сумма долга через 26 месяцев, если его первоначальная величина 500 000 долл., проценты сложные, ставка – 20 % годовых, начисление поквартальное? Провести вычисления общим и смешанным методами.

7. В банке получен кредит на сумму 250 млн. руб. Годовая процентная ставка составляет 9,5% при принятой продолжительности года 360 дней. Провести вычисления величины суммы накопленного долга общим и смешанным методами при различном периоде кредитования, продолжительность которого:

равна целому числу лет (без дробной части) – 3 года;

равна одному году;

равна меньше года – 0,25 года;

равна целому числу лет + доля года – 2 года и 270 дней.

Сравнить полученные значения по вариантам и выявить закономерности в различии результатов.